Угол между скрещивающимися прямыми и расстояние между ними.
Расстояние от точки до плоскости и от прямой до параллельной ей плоскости

Скрещивающиеся прямые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях, и поместить их в одну плоскость невозможно.

Часто в задачах требуется найти угол между скрещивающимися прямыми. Как это сделать?
Угол между прямыми, лежащими в одной плоскости, найти нетрудно. Можно измерить его транспортиром. Можно найти из какого-нибудь треугольника по теореме синусов или косинусов.

Пусть скрещивающиеся прямые a и b лежат в параллельных плоскостях α и β. Проведем в плоскости β прямую с, параллельную прямой а. Угол между прямыми а и b равен углу между прямыми b и с.

Можно сказать, что угол между скрещивающимися прямыми — это угол между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Другими словами, расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат.

Дадим еще два полезных определения.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости — длина перпендикуляра, опущенного на плоскость из любой точки этой прямой.

Заметим, что расстояние от точки до плоскости или угол между скрещивающимися прямыми иногда проще найти с помощью координатно-векторного метода.

Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых

Определение 3.6. 

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из этих прямых.

Теорема 3.12. 

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом единственный.

Доказательство

Пусть a и b – скрещивающиеся прямые (чертеж 3.4.1). Через прямую b проведем плоскость alpha, параллельную прямой a, а через прямую a – плоскость beta, перпендикулярную плоскости alpha. Пусть alpha  beta  = c. По теореме о следе c || a. Пусть c  b = A. В плоскости beta проводим перпендикуляр AB к прямой a. Заметим, что AB – общий перпендикуляр прямых a и b. Действительно, по теореме 3.9 имеем AB  alpha, следовательно, AB  b. Кроме того, AB  a по построению. Пусть CD – отрезок с концами на данных прямых a и b ( ), . Поскольку a || alpha, то и . Кроме того, , следовательно, . Видно, что , то есть AB – кратчайшее расстояние между точками прямых a и b. Это расстояние равно расстоянию между прямой a и плоскостью alpha. Ранее было доказано, что пара скрещивающихся прямых определяет единственную пару параллельных плоскостей. Упомянутое расстояние и есть расстояние между этими плоскостями.

Лемма 3.1. 

Две скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях.

Доказательство

Пусть a и b – данные скрещивающиеся прямые. Выберем на прямой a точку A и на прямой b точку B. Через точки A и B проведем прямые и соответственно такие, что   Образуется две пары пересекающихся прямых параллельных прямым другой пары. По признаку параллельности плоскостей эти пары прямых определяют две параллельные плоскости, в которых и лежат данные скрещивающиеся прямые.