Чевиана

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне или ее продолжении, называется чевианой. Название происходит от теоремы Чевы, дающей условие, при котором три чевианы пересекаются в одной точке.

Теорема Стюарта

Формула, связывающая длину чевианы, проведенной к основанию треугольника (точнее, ее квадрат), с длинами отрезков, на которые она делит основание, и боковыми сторонами:

AD² × BC = AB² × DC + AC²×DB – BC × DB × DC.

Теорема была сформулирована М. Стюартом (1746), но, возможно, была известна Архимеду. Иногда ее называют теоремой Аполлония. Более компактно формулу можно записать, используя отношения p = BD / BC и q = DC / BD и обозначения a,b, c для сторон треугольника и d = AD для чевианы: 

d² = pb² + qc² – pqa².

В этой форме равенство справедливо и в случае, когда точка D лежит на продолжении стороны BC, при этом p и q следует считать отношениями направленных отрезков. Из теоремы Стюарта, в частности, выводятся формулы для длины медианы и биссектрисы треугольника.